同角三角函数的基本关系式及诱导公式 （第十七讲）

第十七讲　同角三角函数的基本关系式及诱导公式

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．(2010·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝(　　)

A.　　　　　　　　　   B．－

C.                                 D．－

解析：cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝，tan80°＝，tan100°＝－tan80°＝－，故选B.

答案：B

2．已知＝－，那么的值是(　　)

A.　　　　B．－　　　　C．2　　　　D．－2

解析：因为·＝＝－1，从而由已知＝－得＝.

答案：A

3．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝(　　)

A.  B．2  C．－  D．－2

解析：由cosα＋2sinα＝－,①,sin²α＋cos²α＝1,②)

将①代入②得(sinα＋2)²＝0，

∴sinα＝－，cosα＝－.故选B.

答案：B

4．若tanα＝2，则的值是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

解析：由tanα＝2，则＝＝－，选A.

答案：A

 

 

 

 

A．－1  B．0  C．1  D．2

解析：∵f(2008)＝asin(2008π＋α)＋bcos(2008π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1，

∴f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)

＝－(asinα＋bcosβ)＝1.

答案：C

6．已知sinα＋cosα＝1，则sinⁿα＋cosⁿα等于(　　)

A．1  B．0

C.  D．不能确定

解析：由解得或

∴sinⁿα＋cosⁿα＝1.

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．已知tanα＝2，则

(1)＝________；

(2)＝________；

(3)4sin²α－3sinαcosα－5cos²α＝________.

解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sinα、cosα的一次齐次式，将分子、分母同除以cosα(∵cosα≠0)，然后整体代入tanα＝2的值．

＝＝＝－1.

(2)注意到分子、分母都是关于sinα、cosα的二次齐次式，

∵cos²α≠0，分子、分母同除以cos²α，有

＝＝＝.∴应填.

(3)要注意到sin²α＋cos²α＝1，

4sin²α－3sinαcosα－5cos²α

＝

＝＝＝＝1.应填1.

答案：(1)－1　(2)　(3)1

评析：这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式(即次数相同)的问题，解答这类“已知某个三角函数，求其余三角函数值”的问题的常规思路是：利用同角间的三角函数关系，求出其余三角函数值，这就需要根据m的取值符号，确定α角所在的象限，再对它进行讨论．这样计算相当繁琐，而在这里灵活地运用“1”的代换，将所求值的式子的分子、分母同除以cosⁿα，用tanⁿα表示出来，从而简化了解题过程，我们应熟练掌握这种解法．更主要的是由此进一步领悟“具体问题、具体分析”的辩证思想方法．

8．化简

－

＝________.

解析：直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式＝－1.

答案：－1

9．(2010·广州模拟)已知sin＝，则

cos＝________.

解析：cos＝cos

＝sin＝－sin＝－.

答案：－

10．设α＝sin(sin2008°)，b＝sin(cos2008°)，c＝cos(sin2008°)，d＝cos(cos2008°)，则a，b，c，d从小到大的顺序是________．

解析：∵2008°＝5×360°＋180°＋28°，

∴a＝sin(－sin28°)＝－sin(sin28°)<0，

b＝sin(－cos28°)＝－sin(cos28°)<0，

c＝cos(－sin28°)＝cos(sin28°)>0，

d＝cos(－cos28°)＝cos(cos28°)>0，

又sin28°，∴b<a<d<c.

答案：b<a<d<c

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．(2011·兰州模拟题)已知3cos²(π＋x)＋5cos＝1，求6sinx＋4tan²x－3cos²(π－x)的值．

解：由已知得3cos²x＋5sinx＝1，即3sin²x－5sinx－2＝0，解得sinx＝－(sinx＝2舍去)．这时cos²x＝1－²＝，tan²x＝＝，

故6sinx＋4tan²x－3cos²(π－x)＝6×＋4×－3×＝－.

12．(1)已知tanα＝3，求sin²α＋cos²α的值．

(2)已知＝1，求的值．

解：(1)sin²α＋cos²α＝

＝＝＝.

(2)由＝1得tanα＝2，

＝

＝

＝＝.

13．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝，

(1)求sinA·cosA；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tanA的值．

分析：可先把sinA＋cosA＝两边平方得出sinA·cosA，然后借助于A∈(0，π)及三角函数符号法则可得sinA与cosA的符号，从而进一步构造sinA－cosA的方程，最后联立求解．

解：(1)∵sinA＋cosA＝①

∴两边平方得1＋2sinAcosA＝，

∴sinA·cosA＝－.

(2)由(1)sinAcosA＝－<0，且0<A<π，

可知cosA<0，∴A为钝角，

∴△ABC是钝角三角形．

(3)∵(sinA－cosA)²＝1－2sinAcosA

＝1＋＝，

又sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，

∴sinA－cosA＝②

∴由①，②可得sinA＝，cosA＝－，

∴tanA＝＝＝－.

评析：sinα·cosα与sinα－cosα，sinα＋cosα存在内在联系，即：sinα·cosα＝[(sinα＋cosα)²－1]，sinα·cosα＝[1－(sinα－cosα)²]．可“知一求二”．

 

 

 

5．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2008)＝－1，那么f(2009)等于(　　)