高考数学，等差数列

第二十八讲　等差数列

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂＋a₄＋a₁₅的值是一个确定的常数，则数列{a_n}中也为常数的项是(　　)

A．S₇　　　　　　　　　         B．S₈

C．S₁₃                                      D．S₁₅

解析：设a₂＋a₄＋a₁₅＝p(常数)，

∴3a₁＋18d＝p，解a₇＝p.

∴S₁₃＝＝13a₇＝p.

答案：C

2．等差数列{a_n}中，已知a₁＝，a₂＋a₅＝4，a_n＝33，则n为(　　)

A．48  B．49

C．50  D．51

解析：∵a₂＋a₅＝2a₁＋5d＝4，则由a₁＝得d＝，令a_n＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C.

答案：C

3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的最大值为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：a₅＝S₅－S₄≤5，S₅＝a₁＋a₂＋…＋a₅＝5a₃≤15，a₃≤3，则a₄＝≤4，a₄的最大值为4.故选C.

答案：C

4．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₅＝3(a₂＋a₈)，则的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：∵{a_n}是等差数列，

∴＝＝×5＝＝，故选D.

答案：D

5．(2011·济宁市模拟)已知数列{a_n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S_n有最大值，则使S_n>0的n的最大值为(　　)

A．11  B．19

C．20  D．21

解析：∵<－1，且S_n有最大值，

∴a₁₀>0，a₁₁<0，且a₁₀＋a₁₁<0，

∴S₁₉＝＝19·a₁₀>0，

S₂₀＝＝10(a₁₀＋a₁₁)<0.

所以使得S_n>0的n的最大值为19，故选B.

答案：B

6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a_n}(n∈N^*)的前12项，如下表所示：

 

按如此规律下去，则a₂₀₀₉＋a₂₀₁₀＋a₂₀₁₁等于(　　)

A．1003  B．1005

C．1006  D．2011

解析：依题意得，数列a₂，a₄，a₆，…，a_2k，…，是以a₂＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a₂₀₁₀＝a_2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a₁，a₃，a₅，a₇，…，a_2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a₂₀₀₉是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a₂₀₀₉＝503，a₂₀₁₁＝－503，a₂₀₀₉＋a₂₀₁₀＋a₂₀₁₁＝1005，选B.

答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂＝－8，S₉＝－9，则S₁₆＝________.

解析：S₉＝9a₅＝－9，

∴a₅＝－1，S₁₆＝8(a₅＋a₁₂)＝－72.

答案：－72

8．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且＝，则＝________.

解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论＝求得．

答案：

9．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

解析：∵f(x)＝，

∴f(1－x)＝＝＝，

∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，

则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，

∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋

[f(－5)＋f(6)]＝6，

∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3.

答案：3

10．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄－a₂＝8，a₃＋a₅＝26，记T_n＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是________．

解析：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d.

∵a₄－a₂＝8，∴d＝4.

又∵a₃＋a₅＝26，即2a₁＋6d＝26，∴a₁＝1.

∴S_n＝n＋×4＝2n²－n，

则T_n＝＝2－<2.

∵对一切正整数T_n≤M恒成立，∴M≥2.

∴M的最小值为2.

答案：2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知：f(x)＝－，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n在曲线y＝f(x)上(n∈N^*)，且a₁＝1，a_n>0.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足＝＋16n²－8n－3，问：当b₁为何值时，数列{b_n}是等差数列．

解：(1)由y＝－，

点P_n在曲线y＝f(x)上，

∴－＝f(a_n)＝－，

并且a_n>0，∴＝，

∴－＝4(n∈N^*)．

数列{}是等差数列，首项＝1，公差d为4，

∴＝1＋4(n－1)＝4n－3，a＝.

∵a_n>0，∴a_n＝(n∈N^*)．

(2)由a_n＝，＝＋16n²－8n－3得

(4n－3)T_n＋1＝(4n＋1)T_n＋(4n－3)(4n＋1)，

＝＋1.

令c_n＝，如果c₁＝1，此时b₁＝T₁＝1，

∴c_n＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N^*，

则T_n＝(4n－3)n＝4n²－3n，n∈N^*，

∴b_n＝8n－7，n∈N^*，∴b₁＝1时数列{b_n}是等差数列．

12．数列{a_n}满足a_n＝3a_n－1＋3ⁿ－1(n∈N^*，n≥2)，已知a₃＝95.

(1)求a₁，a₂；

(2)是否存在一个实数t，使得b_n＝(a_n＋t)(n∈N^*)，且{b_n}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)n＝2时，a₂＝3a₁＋3²－1

n＝3时，a₃＝3a₂＋3³－1＝95，

∴a₂＝23.

∴23＝3a₁＋8，∴a₁＝5.

(2)当n≥2时，

b_n－b_n－1＝(a_n＋t)－(a_n－1＋t)

＝(a_n＋t－3a_n－1－3t)

＝(3ⁿ－1－2t)＝1－.

要使{b_n}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－，

即存在t＝－，使{b_n}为等差数列．

13．设f(x)＝(a≠0)，令a₁＝1，a_n＋1＝f(a_n)，又b_n＝a_n·a_n＋1，n∈N^*.

(1)证明数列是等差数列；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)求数列{b_n}的前n项和．

分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{b_n}前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．

解：(1)证明：a_n＋1＝f(a_n)＝＝，

∴＝＋，即－＝.

∴是首项为1，公差为的等差数列．

(2)由(1)知是等差数列，

∴＝1＋(n－1).整理得a_n＝.

(3)b_n＝a_n·a_n＋1＝·＝a².

设数列{b_n}的前n项和为T_n，

则T_n＝a²

＝a²＝a²·＝.

∴数列{b_n}的前n项和为.